Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），圓M：（x-a）²+y²=c²，雙曲線以橢圓C的焦點為頂點，頂點為焦點，若雙曲線的兩條漸近線都與圓M相切，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），漸近線方程為y=±$\frac{b}{c}$x，圓心為（a，0），半徑為c，即d=$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=b，即b=c，a=$\sqrt{2}$c，橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：由題意可知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，a²=b²+c²，
雙曲線以橢圓C的焦點為頂點，頂點為焦點，
雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），漸近線方程為y=±$\frac{b}{c}$x，
圓M：（x-a）²+y²=c²，圓心為（a，0），半徑為c，
雙曲線的兩條漸近線都與圓M相切，則圓心到漸近線的距離d=c，
即d=$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=b，即b=c，a=$\sqrt{2}$c，
橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選A．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查雙曲線的漸近線方程，點到直線的距離公式，考查數形結合思想，屬于中檔題．