Question

【題目】設函數.

（1）若求函數的單調區間；

（2）若試判斷函數在區間內的極值點的個數，并說明理由；

（3）求證：對任意的正數a都存在實數t滿足：對任意的，.

Answer 1

【答案】(1) 單調遞減區間為單調遞增區間為. (2) 見解析 (3)證明見解析

【解析】

（1）求解，利用，解不等式求解單調遞增區間，單調遞減區間；
（2），其中，
再次構造函數令，分析的零點情況．，
令，列表分析得出單調性，求其最小值，
分類討論求解①若，②若，③若的單調性，最大值，最小值，確定有無零點問題；
（3）先猜想恒成立．
再運用導數判斷證明．令，求解最大值，得出即可．

（1）當時，，，

令，，列表分析

		1
		0	+
	單調遞減		單調遞增

故的單調遞減區間為單調遞增區間為.

（2），，其中，

令，分析的零點情況.

令，，列表分析

		0	+
	單調遞減		單調遞增

，

而，

，

①若則，

故在內沒有極值點；

②若，則，

因此在有兩個零點，在內有兩個極值點；

③若則，，，

因此在有一個零點，在內有一個極值點；

綜上所述當時，在內沒有極值點；

當時，在內有兩個極值點；

當時，在內有一個極值點.

（3）猜想：，恒成立.

證明如下：

由（2）得在上單調遞增，且，.

因為當時，，

所以

故在上存在唯一的零點，設為.由

		0	+
	單調遞減		單調遞增

知，.

又，而時，，

所以.

即，.

所以對任意的正數a，都存在實數，

使對任意的，

使.

補充證明:

令，.，

所以在上單調遞增.

所以時，，即.

補充證明

令，.，

所以在上單調遞減.

所以時，，即.