Question

已知函數f(x)=log

1

2

(

1

2

sin2x)．
（1）求它的定義域、值域；
（2）判斷它的奇偶性；
（3）判斷它的周期性；
（4）寫出函數的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用真數大于0，解不等式，可求函數f（x）的定義域；確定真數的范圍，可求函數f（x）的值域；
（2）因為函數f（x）的定義域關于原點不對稱，故此函數為非奇非偶函數；
（3）利用周期函數的定義，可求函數的周期；
（4）根據復合函數的單調性，故求函數t=sin2x的單調遞減區間，結合原函數的定義域，可得函數的遞增區間．

解答：解：（1）由

1

2

sin2x＞0，∴sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，解得kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z
故函數f（x）的定義域為{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}…（3分）
因0＜

1

2

sin2x≤

1

2

，故log

1

2

(

1

2

sin2x)≥1
故函數f（x）的值域為[1，+∞）．…（5分）
（2）因為函數f（x）的定義域為{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}，關于原點不對稱，故此函數為非奇非偶函數．…（7分）
（3）因為log

1

2

(

1

2

sin2(x+π))=log

1

2

(

1

2

sin2x)，所以此函數的周期為T=π．…（10分）
（4）根據復合函數的單調性，故求函數t=sin2x的單調遞減區間．
又考慮到原函數的定義域，故2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+π，k∈Z，
即為kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z
故函數的遞增區間為（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

），k∈Z．…（14分）

點評：本題考查復合函數的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．