Question

（本題滿分14分）如圖，α⊥β，α∩β=l， A∈α， B∈β，點A在直線l上的射影為A₁， 點B在l的射影為B₁，已知AB=2，AA₁=1， BB₁=， 求:
(Ⅰ) 直線AB分別與平面α，β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A₁－AB－B₁的余弦值．

Answer 1

解法一: (Ⅰ)如圖， 連接A₁B，AB₁， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA₁⊥l， BB₁⊥l，


∴AA₁⊥β， BB₁⊥α． 則∠BAB₁，∠ABA₁分別是AB與α和β所成的角．
Rt△BB₁A中， BB₁=， AB=2， ∴sin∠BAB₁ = = ． ∴∠BAB₁=45°．
Rt△AA₁B中， AA₁=1，AB=2， sin∠ABA₁= = ， ∴∠ABA₁= 30°．
故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°．           ……………………………… 6分
(Ⅱ) ∵BB₁⊥α， ∴平面ABB₁⊥α．在平面α內過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，則A₁E⊥平面AB₁B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A₁F⊥AB， ∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，∴AB₁=B₁B=． ∴Rt△AA₁B中，A₁B== = ． 由AA₁·A₁B=A₁F·AB得 A₁F== = ，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE = = ， ∴二面角A₁－AB－B₁的余弦值．
解法二: (Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ) 如圖，建立坐標系， 則A₁(0，0，0)，A(0，0，1)，B₁(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一點F(x，y，z)，則存在t∈R，使得=t， 即(x，y，z－1)=t(，1，－1)， ∴點F的坐標為(t， t，1－t)．要使⊥，須·=0， 即(t， t，1－t) ·(，1，－1)=0， 2t+t－(1－t)=0，解得t=， ∴點F的坐標為(，－， )， ∴=(，， )． 設E為AB₁的中點，則點E的坐標為(0，， )． ∴=(，－，)．
又·=(，－，)·(，1，－1)= － － =0， ∴⊥， ∴∠A₁FE為所求二面角的平面角．
又cos∠A₁FE=" =" = = = ，
∴二面角A₁－AB－B₁的余弦值．                    ……………………………… 14

解析