Question

四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明//平面；            
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使⊥平面？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面。

解：（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
B（2，2，0）.
設(shè) 是平面BDE的一個(gè)法向量，
則由  
 
（II）由（Ⅰ）知是平面的一個(gè)法向量，
又是平面的一個(gè)法向量.
設(shè)二面角--的平面角為，由圖可知 
∴ 
故二面角--的余弦值為 
（Ⅲ）∵ ∴ 
假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使⊥平面，設(shè)，
則，
由
∴
即在棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面 。