Question

已知函數f（x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）（a＞0，且a≠1）
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由．
（2）若f(

6

5

)=2，求使f（x）＞0成立x的集合．

Answer 1

分析：（1）先定義域關于原點對稱，専判斷f（-x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義，得到結論；
（2）將x=

6

5

代入，可構造關于a的方程，解方程得a值，進而根據對數函數的單調性，可將f（x）＞0轉化為整式不等式，進而得到答案．

解答：解：（1）函數f（x）定義域為（-2，2）關于原點對稱，
∵f（-x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）=-f（x）
∴函數f（x）是奇函數
（2）∵f（

6

5

）=2
∴log_a（2-

6

5

）-log_a（2+

6

5

）=log_a（

4

5

）-log_a（

16

5

）=log_a（

1

4

）=2
∴a2=

1

4

，
即a=

1

2

∴f（x）=log

1

2

（2-x）-log

1

2

（2+x）
則f（x）＞0可化為log

1

2

(2-x)＞log

1

2

(2+x)
即0＜2-x＜2+x
解得：x∈（0，2）

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，函數的定義域，函數的奇偶性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．