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已知函數f(x)=loga(2-x)-loga(2+x)(a>0,且a≠1)
(1)判斷函數f(x)的奇偶性,并說明理由.
(2)若f(
65
)=2
,求使f(x)>0成立x的集合.
分析:(1)先定義域關于原點對稱,専判斷f(-x)與f(x)的關系,進而根據函數奇偶性的定義,得到結論;
(2)將x=
6
5
代入,可構造關于a的方程,解方程得a值,進而根據對數函數的單調性,可將f(x)>0轉化為整式不等式,進而得到答案.
解答:解:(1)函數f(x)定義域為(-2,2)關于原點對稱,
∵f(-x)=loga(2+x)-loga(2-x)=-f(x)
∴函數f(x)是奇函數
(2)∵f(
6
5
)=2
∴loga(2-
6
5
)-loga(2+
6
5
)=loga
4
5
)-loga
16
5
)=loga
1
4
)=2
a2=
1
4
,
a=
1
2

∴f(x)=log
1
2
(2-x)-log
1
2
(2+x)
則f(x)>0可化為log
1
2
(2-x)>log
1
2
(2+x)

即0<2-x<2+x
解得:x∈(0,2)
點評:本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質,函數的定義域,函數的奇偶性,是函數圖象和性質的綜合應用,難度中檔.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數a的不同取值,寫出該函數的單調增區間;
(2)已知當x>0時,函數在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數的解析式;
(3)記(2)中的函數圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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