Question

已知如圖，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求側棱A₁A與底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求頂點C到側面A₁ABB₁的距離.

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足為D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC ∴∠A1AD為A1A與面ABC所成的角. ∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C， ∴∠A1AD＝45°為所求. （Ⅱ）作DE⊥AB，垂足為E，連A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB， ∴∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角. 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC. 又D是AC的中點，BC＝2，AC＝2， ∴DE＝1，AD＝A1D＝， tanA1ED＝． 故∠A1ED＝60°為所求. （Ⅲ）解法一：由點C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長是C到平面A1ABB1的距離. 連結HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB. 又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A1ED＝60°. ∴CH＝BCsin60°＝為所求. 解法二：連結A1B. 根據定義，點C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐C—A1AB的高h. 由， 即. ∴h＝為所求.