Question

【題目】設函數，．

（1）當時，函數有兩個極值點，求的取值范圍；

（2）若在點處的切線與軸平行，且函數在時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得導函數，題意說明有兩個零點，即有兩個解，或直線與函數的有兩個交點，可用導數研究的性質（單調性，極值等），由零點存在定理即可得的范圍；

（2）首先題意說明，，從而有且，其次時，恒成立，因此的最小值大于0，這可由導數來研究，從而得出的范圍．

（1）當時，，，

所以有兩個極值點就是方程有兩個解，

令，則.

當時，在區間上恒成立，則此時單調遞增，

又為連續函數，由零點存在定理可知：

最多只有一個零點，也即最多只有一個解，不符合題意；

當時，令，解得，

故在區間單調遞增，在單調遞減.

，

若，即時，根據函數單調性可知：

此時，故無解，不符合題意；

若，即時，根據函數單調性可知：

此時，只有一個解，不符合題意；

若，即時，

又，，（最后進行證明）

又，故由零點存在定理可知：

此時有兩個根，滿足題意.

綜上．

現證：，

令，故，

故在定義域內單調遞增，

故，

即證.

（2）函數在點處的切線與軸平行，

所以且，因為，

所以且；

在時，

其圖象的每一點處的切線的傾斜角均為銳角，

即當時，恒成立，即

，

令，∴

設，，

因為，所以，，∴，

∴在單調遞增，即在單調遞增，

∴，

當且時，，

所以在單調遞增；

∴成立

當，因為在單調遞增，

所以，

，

所以存在有；

當時，，單調遞減，

所以有，不恒成立；

所以實數的取值范圍為．