Question

已知函數f（x）、g（x）對任意實數x、y都滿足條件①f（x+1）=3f（x），且f(0)=

1

3

，②g（x+y）=g（x）+2y，且g（6）=15，（n為正整數）
（Ⅰ）求數列{f（n）}、{g（n）}的通項公式；
（II）設a_n=g[f（n）]，求數列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數f（x）中的x=n便可知道數列{f（n）}為等比數列將g（x+y）中的x=n/y=1即可知道數列{g（n）}為等差數列，根據題中已知條件便可求出數列{f（n）}和{g（n）}的通項公式；
（II）由（I）中求得的數列{f（n）}和{g（n）}的通項公式便可求出an的通項公式，然后即可求出數列{a_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由條件①中f（x+1）=3f（x），得

f(n+1)

f(n)

=3為常數，
可知{f（n）}是以3為公比的等比數列，
又∵f（1）=f（1+0）=3f（0）=1，
∴f（n）=1×3^n-1=3^n-1
在條件②中，令x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2，
可知{g（n）}是以2為公差的等差數列，
∴g（n）=g（6）+（n-6）•2=2n+3，
即g（n）=2n+3
（II）由（Ⅰ）得a_n=g[f（n）]=2f（n）+3=2×3^n-1+3，
∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

2(1-3n)

1-3

+3n
=3ⁿ+3n-1．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的基本公式以及數列與函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對知識的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．