Question

（本大題12分）如圖，在棱長為ɑ的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點．

（1）求直線C與平面ABCD所成角的正弦的值；

（2）求證：平面A B₁D₁∥平面EFG；

（3）求證：平面AA₁C⊥面EFG ．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；  （2）見解析；（3）見解析。

【解析】

試題分析：(1)因為 平面ABCD,所以為與平面ABCD所成角,

然后解三角形求出此角即可.

（2）證明面面平行根據判定定理只須證明平面平面A B₁D₁內兩條相交直線和分別平行于平面EFG即可.在證明線面平行時又轉化為證明線線平行.

(3)易證：BD平面AA₁C，再證明EF//BD，因而可證出平面AA₁C⊥面EFG.

（1）∵平面ABCD=C，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁

平面ABCD

∴AC為在平面ABCD的射影

∴為與平面ABCD所成角……….2分

正方體的棱長為

∴AC=，=

                  ………..4分

  （2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁

連接BD，∥，=

  為平行四邊形

∴∥∵E，F分別為BC，CD的中點

∴EF∥BD∴EF∥…………3分

∵EF平面GEF，平面GEF

∴∥平面GEF               …………7分

同理∥平面GEF∵=

∴平面A B₁D₁∥平面EFG         ……………9分

（3）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁∴   平面ABCD

∵EF平面ABCD

∴ EF              …………10分

∵ABCD為正方形

∴ACBD

∵EF∥BD

∴AC EF              ………..11分

∴EF平面AA₁C

∵EF平面EFG

∴平面AA₁C⊥面EFG         …………….12分.

考點：斜線與平面所成的角，線面垂直，面面垂直，面面平行的判定.

點評：斜線與平面所成的角就是斜線與它在這個平面內的射影所成的角，因而關鍵是找到它在這個平面內的射影.面面垂直（平行）證明要轉化為證明線面垂直（平行）再轉化為線線垂直（平行）.