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(本小題滿分14分)

已知函數.

(Ⅰ)若曲線與曲線相交,且在交點處有相同的切線,求的值及該切線的方程;

(Ⅱ)設函數,當存在最小值時,求其最小值的解析式;

(Ⅲ)對(Ⅱ)中的,證明:當時, .

 

【答案】

(Ⅰ)a=切線的方程為

(Ⅱ)

(Ⅲ)證明見解析

【解析】本題主要考查導數與切線的關系,及導數在求函數最值,單調性等方面的應用,需要考生熟悉求導公式,并有足夠的耐心去分類討論,是一道考查綜合素質的難題.

(Ⅰ)=,=(x>0),

由已知得  解得a=,x=e2,

∴ 兩條曲線交點的坐標為(e2,e)   切線的斜率為

∴ 切線的方程為

(Ⅱ)由條件知

   ∴

(i)當a>0時,令解得

∴    當0 << 時,在(0,)上遞減;

x>時,上遞增.

∴    上的唯一極值點,且是極小值點,從而也是最小值點.

∴    最小值

(ii)當時,在(0,+∞)上遞增,無最小值。

   故的最小值的解析式為

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

,令解得.

時,,∴上遞增;

時,,∴上遞減.

處取得最大值

上有且只有一個極值點,所以也是的最大值.

∴當時,總有

點評:本題題目條件給的比較清晰,直接.只要抓住概念就可以很好的解決第一問,后兩問主要難在需要細心并且有耐心的去分類討論,運算,方法并不難,所以考試時做這一類題時力爭拿到第一步分,后面的盡量爭取.

 

練習冊系列答案
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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當x∈[0,
π
2
]  時,求函數f(x)
的值域.

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(本小題滿分14分)設橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設AB是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

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科目:高中數學 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學期期末數學理卷(A) 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知=2,點()在函數的圖像上,其中=.
(1)證明:數列}是等比數列;
(2)設,求及數列{}的通項公式;
(3)記,求數列{}的前n項和,并證明.

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科目:高中數學 來源:2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數學試卷(解析版) 題型:解答題

 (本小題滿分14分)

某網店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監測統計發現,第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫出銷售額關于第天的函數關系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.

 

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(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求滿足的關系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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