(本小題滿分14分)
已知函數,
,
.
(Ⅰ)若曲線與曲線
相交,且在交點處有相同的切線,求
的值及該切線的方程;
(Ⅱ)設函數,當
存在最小值時,求其最小值
的解析式;
(Ⅲ)對(Ⅱ)中的,證明:當
時,
.
(Ⅰ)a=切線的方程為
(Ⅱ)
(Ⅲ)證明見解析
【解析】本題主要考查導數與切線的關系,及導數在求函數最值,單調性等方面的應用,需要考生熟悉求導公式,并有足夠的耐心去分類討論,是一道考查綜合素質的難題.
(Ⅰ)=
,
=
(x>0),
由已知得 解得a=
,x=e2,
∴ 兩條曲線交點的坐標為(e2,e) 切線的斜率為
∴ 切線的方程為
(Ⅱ)由條件知
∴
(i)當a>0時,令解得
,
∴ 當0 <<
時,
,
在(0,
)上遞減;
當x>時,
,
在
上遞增.
∴ 是
在
上的唯一極值點,且是極小值點,從而也是
的最小值點.
∴ 最小值
(ii)當時,
在(0,+∞)上遞增,無最小值。
故的最小值
的解析式為
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
則,令
解得
.
當時,
,∴
在
上遞增;
當時,
,∴
在
上遞減.
∴在
處取得最大值
∵在
上有且只有一個極值點,所以
也是
的最大值.
∴當時,總有
點評:本題題目條件給的比較清晰,直接.只要抓住概念就可以很好的解決第一問,后兩問主要難在需要細心并且有耐心的去分類討論,運算,方法并不難,所以考試時做這一類題時力爭拿到第一步分,后面的盡量爭取.
科目:高中數學 來源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=
,且曲線C1與C2在第一象限內只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設A、B是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。
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科目:高中數學 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學期期末數學理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點(
)在函數
的圖像上,其中
=
.
(1)證明:數列}是等比數列;
(2)設,求
及數列{
}的通項公式;
(3)記,求數列{
}的前n項和
,并證明
.
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科目:高中數學 來源:2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
某網店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監測統計發現,第天(
)的銷售價格(單位:元)為
,第
天的銷售量為
,已知該商品成本為每件25元.
(Ⅰ)寫出銷售額關于第
天的函數關系式;
(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;
(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年廣東省高三下學期第一次月考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知的圖像在點
處的切線與直線
平行.
⑴ 求,
滿足的關系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范圍;
⑶ 證明:(
)
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