Question

（2010•唐山二模）定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x)，當0≤x≤1時，f(x)=-|x-

1

2

|+

1

2

，則f(

5

2

)-f(

99

2

)=（　　）

• A．1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：先根據f（x+1）=-f（x）求出函數的周期性，以及-1≤x≤0時的解析式，然后將f(

5

2

)-f(

99

2

)求函數值問題轉化為在[-1，1]上的函數值，最后根據周期性即可求出所求．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）則T=2
∵當0≤x≤1時f(x)=-|x-

1

2

|+

1

2

且當x=-

1

2

時，f(-

1

2

)=- f( -

1

2

+1)=-f(

1

2

)，
而函數f（x）是以2為周期的周期函數
∴f(

5

2

)-f(

99

2

)=f(2+

1

2

)-f(50-

1

2

)=f(

1

2

)-f(-

1

2

)=2f(

1

2

)=2(-|

1

2

-

1

2

|+

1

2

)=1
故選A．

點評：本題主要考查函數的周期性和遞推關系，這類題往往是奇偶性和周期性結合來轉化求值區間，屬于中檔題．