Question

如圖在空間直角坐標系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標是（），點D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量的坐標；
（Ⅱ）設向量和的夾角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DE⊥BC，垂足為E，根據題意可得BD=1，CD=，所以DE=CD•sin30°=．即可得到OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-，進而得到點D的坐標．
（2）依題意可得：分別求出和的坐標表示，進而得到答案．
解答：解：（1）過D作DE⊥BC，垂足為E，
在Rt△BDC中，因為∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
所以可得BD=1，CD=，
∴DE=CD•sin30°=．
所以OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-，
∴D點坐標為（0，-），
所以=（0，-）．
（2）依題意可得：，
所以．
因為向量和的夾角為θ，
所以cosθ==．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到線面關系建立坐標系，再利用向量的有關知識解決空間問題．