Question

如圖已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中點．
（1）求證：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求證：PC₁∥面MNQ；
（3）若，求三棱錐P-MNQ的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證面PCC₁⊥面MNQ，只需證MN⊥面PCC₁，而MN∥AB，易證AB⊥面PCC₁，根據兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與面垂直；
（2）連PB₁與MN相交于K，連KQ，易證PC₁∥KQ，而而KQ?平面MNQ，PC₁?平面MNQ，根據線面平行的判定定理很快得證；
（3）Q到平面AA₁B₁B的距離h等于CP的一半，要求三棱錐P-MNQ的體積，可轉化成求三棱錐Q-PMN的體積．
解答：證明：（1）∵AC=BC，P是AB的中點，∴AB⊥PC，
∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，
∴CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC內
∴CC₁⊥AB，∵CC₁∩PC=C∴AB⊥面PCC₁；
又∵M、N分別是AA₁、BB₁的中點，
四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC₁∵MN在平面MNQ內，
∴面PCC₁⊥面MNQ；（5分）
（2）連PB₁與MN相交于K，連KQ，
∵MN∥PB，N為BB₁的中點，∴K為PB₁的中點．
又∵Q是C₁B₁的中點∴PC₁∥KQ，
而KQ?平面MNQ，PC₁?平面MNQ
∴PC₁∥面MNQ．（10分）
（3）∵Q為B₁C₁的中點，∴Q到平面AA₁B₁B的距離h等于CP的一半，故，
所以．（14分）
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．