Question

設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的單調區間和極值；并求該曲線在x=1處的切線方程．
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求實數a的取值范圍．
（Ⅲ）已知當x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，令導數大于0，解得函數的增區間，令導數小于0，解得函數的減區間，令導數等于0，解得函數的極值點，再根據極值點兩側的導數的正負判斷是極大值還是極小值．
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，則y=f（x）圖象與y=a圖象必有3個不同的交點，a應該介于函數的極小值與極大值之間．
（Ⅲ）因為x∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x-1）恒成立可轉化為k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，所以k小于等于

x3-6x+5

x-1

的最小值，再化簡

x3-6x+5

x-1

，求最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）對函數f（x）=x³-6x+5求導，得函數f′（x）=3x²-6
令f′（x）＞0，即3x²-6＞0，解得x＞

2

，或x＜-

2

f′（x）＜0，即3x²-6＜0，解得-

2

＜x＜

2

f′（x）=0，即3x²-6=0，解得x=

2

，或=＜-

2

f（-

2

）=5+4

2

，f（

2

）=5-4

2

∴f（x）的單調遞增區間是（-∞，-

2

）及（

2

，+∞），單調遞減區間是（-

2

，

2

）
當x=-

2

，f（x）有極大值5+4

2

；當x=

2

，f（x）有極小值5-4

2

又∵f′（1）=-3，f（1）=0
∴曲線在x=1處的切線方程為y=-3x+3                 
（Ⅱ）當5-4

2

＜a＜5+4

2

時，直線y=a與y=f（x）的圖象有3個不同交點，此時方程f（x）=a有3個不同實根．
∴實數a的取值范圍為（5-4

2

，5+4

2

）
（Ⅲ）x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，
令g（x）=

x3-6x+5

x-1

，則g（x）=

(x2+x-5)(x-1)

x-1

=x²+x-5，
∴g（x）的最小值為-3，∴k≤-3

點評：本題主要考查了利用導數求函數單調區間，極值，以及函數的極值的應用，綜合性強．