Question

已知函數f(x)滿足f(x)＋(0)－e^－x＝－1，函數g(x)＝－λlnf(x)＋sinx是區間[－1，1]上的減函數．

(1)當x≥0時，曲線y＝f(x)在點M(t，f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t)，求S(t)的最大值；

(2)若g(x)＜t²＋λt＋1在x∈[－1，1]時恒成立，求t的取值范圍；

(3)設函數h(x)＝－lnf(x)－ln(x＋m)，常數m∈Z，且m＞1，試判定函數h(x)在區間[e^－m－m，e^2m－m]內的零點個數，并作出證明．

Answer 1

答案：
解析：

①因為，切線的斜率為切點 　　故切線的方程為即，1分 　　令得，又令得 　　所以 　　從而 　　∵當時，，當時，， 　　所以的最大值為 　　②由①知：， 　　上單調遞減， 　　即在[－1，1]上恒成立， 　　要使時恒成立 　　因 　　(其中)恒成立， 　　令， 　　則恒成立， 　　 　　③函數連續，且 　　 　　當時，為減函數， 　　當時，為增函數， 　　根據函數極值判別方法，為極小值，而且 　　對都有 　　故當整數時， 　　所以當整數時，， 　　函數在上為連續減函數． 　　 　　由所給定理知，存在唯一的 　　而當整數時， 　　 　　類似地，當整數時，函數在上為連續增函數且與異號，由所給定理知，存在唯一的故當時，方程在內有兩個實根．15分