Question

已知點A，D分別是橢圓（a＞b＞0）的左頂點和上頂點，點P是線段AD上的任意一點，點F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，且的最大值是1，最小值是，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓的右頂點為B，點S是橢圓上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線L：x=分別交于M，N兩點，求線段MN長度的最小值；
（Ⅲ）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在T點，使得△TSB的面積是？若存在，確定點T個數；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設 P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
則（-c-x，-y），（c-x，-y），
∴=x²+y²-c²，
∵P在線段AD上，
∴x²+y²可以看成線段AD上的點到原點距離的平方，
結合圖形可以知道當P運動到A時x²+y²最大，最大值為a²，
所以=x²+y²-c²的最大值為a²-c²=b²，
當OP⊥AD時，x²+y²取得最小，最小值運用等面積法可得到x²+y²的最小值為，
所以=x²+y²-c²的最小值為，
又的最大值是1，最小值是，
故有，解得a²=4，
所以橢圓方程為；
（Ⅱ）直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，
故可設直線的方程為y=k（x+2），
從而，
由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
設S（x₁，y₁），
則，得，從而，
又B（2，0），得，所以，
又k＞0，故|MN|=，當且僅當時等號成立，
∴時，線段的長度取最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當取最小值時，
此時BS的方程為2x+y-4=0，，
∴，
要使橢圓上存在點T，使得△TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，
所以點T在平行于BS且與BS距離等于的直線l′上，
設直線l′的方程為2x+y+c=0，
則由，解得c=-3或c=-5，
當c=-3時，由得Δ=128＞0，故直線l′與橢圓有兩個不同的交點；
當c=-5時，由得Δ=-128＜0，故直線l′與橢圓沒有交點；
綜上所述，當線段MN的長度最小時，在橢圓上僅有兩個點T，使得△TSB的面積等于。