Question

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中，是對應的焦點。

（1）若三角形是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

（2）若，求的取值范圍；

（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。是否存在實數，使得斜率為的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個果圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為

    ，．                    

（2）由題意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．                                             

    （3）設“果圓”的方程為，．

    記平行弦的斜率為．

當時，直線與半橢圓的交點是

，與半橢圓的交點是．

 的中點滿足  

得 ．  

     ， ．

    綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上． 

    當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．  

    由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．                                                        

    當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．