Question

已知函數f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx
①求函數f（x）的最小正周期；
②在△ABC中，a，b，c為內角A，B，C的對邊，若f（C）=2，a+b=4，求△ABC的最大面積．

Answer 1

分析：①利用二倍角公式及輔助角公式對已知函數化簡可得，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，利用周期公式T=

2π

ω

可求
②由①知f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=2，即sin(2C+

π

6

)=

1

2

，又0＜C＜π 可求C=

1

3

π，代入三角形的面積公式S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

(

a+b

2

)2可求面積的最大值

解答：解：①由已知f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx
=cos2x+1+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1
∴T=

2π

2

=π                            …（6分）
②由①知f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=2，即sin(2C+

π

6

)=

1

2

又0＜C＜π
∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13π

6

∴2C+

π

6

=

5π

6

∴C=

π

3

∴S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

(

a+b

2

)2=

3

當且僅當a=b時，Smax=

3

                     …（12分）

點評：本題主要考查了三角函數的二倍角公式、輔助角公式在三角函數化簡中的應用，由三角函數值求角，基本不等式在函數最值求解中的應用．