Question

2．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其導函數的圖象f'（x）如圖所示，則$f（{\frac{π}{2}}）$的值為（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 求出函數的導函數，利用導函數的周期，求出ω，利用振幅求出A，利用導函數經過（$\frac{3π}{2}$，-2），求出φ，得到函數的解析式，即可得解．

解答 解：函數的導函數f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由圖象可知f′（x）的周期為4π．
所以ω=$\frac{1}{2}$．
又因為Aω=2．
所以A=4．
函數經過（$\frac{3π}{2}$，-2），
所以-2=2cos（$\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ），0＜φ＜π，
所以 $\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ=π，即φ=$\frac{π}{4}$．
所以f（x）=4sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
所以f（$\frac{π}{2}$）=4sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=4．
故選：D．

點評 本題主要考查函數的導數與函數的圖象的關系，考查計算能力和數形結合思想的應用，屬于中檔題．