已知橢圓
的兩焦點在
軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
的動直線
交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由
（1）橢圓方程為
；（2）存在定點
，使以AB為直徑的圓恒過點
解析試題分析：（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
等腰直角三角形斜邊長為2，即
，故
，由此可得橢圓方程 （2）首先考慮與坐標軸平行的特殊情況，當與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為
；當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為
，解方程組求出這兩個圓的交點：
若存在定點Q,則Q的坐標只可能為
接下來就一般情況證明為所求 設(shè)直線
，則
，將
與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得：
，代入上式證明其等于0即可
試題解析：（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
又斜邊長為2,即故,
橢圓方程為 （4分）
（2）當與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為;
當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為,故若存在定點Q,則Q的坐標只可能為 （6分）
下證明為所求:
若直線斜率不存在,上述已經(jīng)證明 設(shè)直線,
,, （8分）
（10分）
,即以AB為直徑的圓恒過點 （13分）
注: 此題直接設(shè)
,得到關(guān)于
的恒成立問題也可求解
考點：直線與圓錐曲線
新課標同步訓(xùn)練系列答案
一線名師口算應(yīng)用題天天練一本全系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的離心率為
，右焦點為(
，0)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過原點
作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于
，
兩點，求證：點到直線
的距離為定值.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓
＝1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.
(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；
(2)當k＝2時，求點P到直線AB的距離d；
(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB..
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，短軸的一個端點為M(0，1)，直線l：y＝kx－
與橢圓相交于不同的兩點A、B.
(1)若AB＝
，求k的值；
(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－2，該拋物線上的每個點到準線x＝－2的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線l1：y＝x和l2：y＝－x相切的圓，
(1)求定點N的坐標；
(2)是否存在一條直線l同時滿足下列條件：
①l分別與直線l1和l2交于A、B兩點，且AB中點為E(4，1)；
②l被圓N截得的弦長為2.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的焦距為2，且過點
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左右焦點分別為
，
，過點的直線
與橢圓C交于
兩點.
①當直線的傾斜角為
時，求
的長；
②求
的內(nèi)切圓的面積的最大值，并求出當的內(nèi)切圓的面積取最大值時直線的方程.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a>b>0)，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G：x2＋y2＝
(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N.
(1)若橢圓C經(jīng)過兩點
、
，求橢圓C的方程；
(2)當c為定值時，求證：直線MN經(jīng)過一定點E，并求
·
的值(O是坐標原點)；
(3)若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
＝1(a＞b＞0)，點P
在橢圓上．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點，O為坐標原點．若點Q在橢圓上且滿足AQ＝AO，求直線OQ的斜率的值．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設(shè)橢圓C1:
+
=1(a>b>0),拋物線C2:x2+by=b2.
(1)若C2經(jīng)過C1的兩個焦點,求C1的離心率;
(2)設(shè)A(0,b),Q（3
,
b）,又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△AMN的垂心為B（0,
b）,且△QMN的重心在C2上,求橢圓C1和拋物線C2的方程.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com