Question

設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)P(4，1)的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足．證明：點(diǎn)Q總在某定直線上．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：(Ⅰ)由題意：，解得．

　　所求的求橢圓的方程．

　　(Ⅱ)方法一：設(shè)點(diǎn)，，，由題設(shè)，、、、均不為0，且，又四點(diǎn)共線，可設(shè)，，于是

　　，　　　　　　　　①

　　，　　　　　　　　②

　　由于，在橢圓上，將①②分別帶入的方程，整理得：

　　　　③

　　　　④

　　由④－③得．

　　∵，∴．即點(diǎn)總在直線上．

　　方法二：設(shè)點(diǎn)，，，由題設(shè)，、、、均不為0，記，則且．

　　又四點(diǎn)共線，從而，，于是：

　　，；

　　，．

　　從而　　①

　　　　　　②

　　又點(diǎn)在橢圓上，即

　　　　　　　③

　　　　　　　④

　　①＋2②并結(jié)合③，④得，即點(diǎn)總在直線上．

　　本題主要考查直線、橢圓的方程及幾何性質(zhì)、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和分析問題、解決問題的能力．本小題滿分13分．