Question

如圖，已知橢圓C₀：，動圓C₁：．點A₁，A₂分別為C₀的左右頂點，C₁與C₀相交于A，B，C，D四點。

（1）求直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程；
（2）設動圓C₂：與C₀相交于A'，B'，C'，D'四點，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂，若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：為定值。

Answer 1

解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），
則直線A₁A的方程為①
直線A₂B的方程為②
由①×②可得：③
∵A（x₁，y₁）在橢圓C₀上，
∴
∴代入③可得：
∴；
（2）證明：設A′（x₃，y₃），
∵矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等
∴4|x₁||y₁|=4|x₃||y₃|
∴=
∵A，A′均在橢圓上，
∴=
∴=
∴
∵t₁≠t₂，
∴x₁≠x₂
∴
∴，
∴
∴=a²+b²為定值．