Question

設函數f（x）=xe^x，求：
（I）曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）先求出f（0），再由求導公式和法則求出導數，再求出切線的斜率f′（0）的值，代入直線的點斜式方程化簡；
（Ⅱ）由（I）求出f′（x），再求出f′（x）＞0的解集，即函數的單調遞增區間．

解答：解：（I）由題意得，f（0）=0，則切點為（0，0），
又∵f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，∴f′（0）=1，
故在點（0，f（0））處的切線方程為y=x，
（Ⅱ）由（I）知，f′（x）=（1+x）e^x，
由f′（x）＞0得，1+x＞0，即x＞-1，
∴函數f（x）單調遞增區間是（-1，+∞）．

點評：本題考查了導數的幾何意義，即在某點處的切線的斜率是該點處的導數值，直線的點斜式方程，以及導數與函數單調性的關系，屬于中檔題．