Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求證：函數(shù)f（x）定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）記g（x）=log 2(2x-1)．若關(guān)于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，步驟為取值、作差、變形定號、下結(jié)論；
（2）關(guān)于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，轉(zhuǎn)化為求m=g（x）-f（x）在[1，2]上的值域問題．

解答：（1）證明：任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂

2x1+1

2x2+1

∵x₁＜x₂，∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，∴l(xiāng)og₂

2x1+1

2x2+1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）解：∵g（x）=log 2(2x-1)，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log 2(2x-1)-log₂（2^x+1）=log₂（1-

2

2x+1

）．
當1≤x≤2時，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

∴m的取值范圍是[log2

1

3

，log2

3

5

]．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查學生轉(zhuǎn)化問題的能力，考查求函數(shù)的值域，屬于中檔題．