Question

17．已知雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1的一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線N：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F．
（1）求拋物線N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)雙曲線M的左右頂點(diǎn)為C，D，過(guò)F且與x軸垂直的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出雙曲線的右焦點(diǎn)為（4，0），再根據(jù)拋物線的定義求出p的值，
（2）根據(jù)（1）求出C，D的坐標(biāo)，再根據(jù)x=4與拋物線求出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1中，a=3，c²=a²+b²=16，
∴c=4，
∴雙曲線的右焦點(diǎn)為（4，0），
由$\frac{p}{2}$=4，解得p=8，
∴拋物線的方程為y²=16x，
（2）由（1）可得C（-3，0），D（3，0），
直線x=4與拋物線y²=16x交于點(diǎn)A（4，8），B（4，-8），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-7，-8），$\overrightarrow{BD}$=（-1，8），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-7×（-1）-8×8=-57．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線和雙曲線的性質(zhì)和定義，以及向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．