Question

一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A′剛好與點A重合．這樣的每一種折法，都留下一條折痕．當A′取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合．

Answer 1

對于⊙O上任意一點A′，連AA′，作AA′的垂直平分線MN，連OA′，交MN于點P，則OP+PA=OA′=R．
由于點A在⊙O內，故OA=a＜R．從而當點A′取遍圓周上所有點時，點P的軌跡是以O、A為焦點，OA=a為焦距，R（R＞a）為長軸的橢圓C．
而MN上任一異于P的點Q，都有OQ+QA=OQ+QA′＞OA′，故點Q在橢圓C外，即折痕上所有的點都在橢圓C上及C外．
反之，對于橢圓C上或外的一點S，以S為圓心，SA為半徑作圓，交⊙O于A′，則S在AA′的垂直平分線上，從而S在某條折痕上．
最后證明所作⊙S與⊙O必相交．
1° 當S在⊙O外時，由于A在⊙O內，故⊙S與⊙O必相交；
2° 當S在⊙O內時（例如在⊙O內，但在橢圓C外或其上的點S′），取過S′的半徑OD，則由點S′在橢圓C外，故OS′+S′A≥R（橢圓的長軸）．即S′A≥S′D．于是D在⊙S′內或上，即⊙S′與⊙O必有交點．
于是上述證明成立．
綜上可知，折痕上的點的集合為橢圓C上及C外的所有點的集合．