Question

一種電腦屏幕保護(hù)畫面,只有符號(hào)“○”和“×”隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“○”和“×”之一，其中出現(xiàn)“○”的概率為p，出現(xiàn)“×”的概率為q.若第k次出現(xiàn)“○”，則記a_k=1；出現(xiàn)“×”，則記a_k=-1.令S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)(理)當(dāng)p=q=時(shí)，記ξ=|S₃|,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(文)當(dāng)p=q=時(shí),求S₆≠2的概率;

(2)當(dāng)p=,q=時(shí),求S₈=2且S_i≥0(i=1,2,3,4)的概率.

Answer 1

解：(1)(理)∵ξ=|S₃|的取值為1、3,

又p=q=,∴P(ξ=1)=()·()²·2=,P(ξ=3)=()³+()³=.4分

∴ξ的分布列為

ξ	1	3
P

∴Eξ=1×+3×=.

(文)先求S₆=2的概率.∵S₆=2,∴6次變化中,出現(xiàn)“○”有4次，出現(xiàn)“×”有2次.

故S₆=2的概率為()⁴·()²=.

∴S₆≠2的概率為P₁=1-=.

(2)當(dāng)S₈=2時(shí),即前八秒出現(xiàn)“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0(i=1,2,3,4),

若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；

若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任出現(xiàn)“○”3次.

故此時(shí)的概率為P=(+)·()⁵·()³=(或).