Question

設, 已知函數 

(Ⅰ) 證明在區間(－1,1)內單調遞減, 在區間(1, + ∞)內單調遞增;

(Ⅱ) 設曲線在點處的切線相互平行, 且 證明.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】(Ⅰ)證明：設函數，，

①，因為，所以當時，，

所以函數在區間（-1，0）內單調遞減；

②，因為，所以當時，

；當時，，即函數在區間（0，1）內單調遞減，在區間內單調遞增.

綜合①②及，可知函數在區間(－1,1)內單調遞減, 在區間(1, + ∞)內單調遞增.

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知，在區間內單調遞減，在區間內單調遞減，在區間

內單調遞增.因為曲線在點處的切線相互平行，從而互不相等，且.不妨設，

由==，可得，

解得，從而，

設，則，

由=，解得，所以，

設，則，因為，所以，

故=，即.

本題第（Ⅰ）問，可以分兩段來證明,都是通過導數的正負來判斷單調性；第(Ⅱ)問，由切線平行知，切線的斜率相等，然后構造函數解決.判斷分段函數的單調性時,要分段判斷;證明不等式時,一般構造函數解決.

【考點定位】本小題主要考查導數的運算及其幾何意義，利用導數研究函數的單調性，考查分類討論思想、化歸思想、函數思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力.