Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA，AB，AD兩兩互相垂直，已知AD∥BC，BC=2AD，E是PB的中點．
（1）求證：AE∥平面PCD；
（2）若平面PBC⊥平面PCD，PA=AB=6，BC=3，求點E到平面PCD的距離d；
（3）設二面角P-BC-D為45°，且PA=AD，求二面角B-PC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）設PC中點為M，連接EM，MD，證出AEMD為平行四邊形．得出AE∥DM，證出AE∥面PCD即可．
（2）作EG⊥PC于G，利用面PBC⊥面PCD，證出EG⊥面PCD，設EG=d．利用△PBC∽△PGE 解出即可．
（3）作EG⊥PC于G，連接AG，由三垂線定理，∠EGA為二面角B-PC-A 的平面角，解直角三角形EAG得出結果．

解答：（1）證明：設PC中點為M，連接EM，MD，∵E，M 為PB，PC的中點
∴EM∥

1

2

BC，∵BC∥2AD，∴EM∥AD，EM=AD，∴AEMD為平行四邊形．
∴AE∥DM，DM?面PCD，∴AE∥面PCD．
（2）解：作EG⊥PC于G，∵面PBC⊥面PCD，∴EG⊥面PCD，∴EG即為所求，設EG=d，
顯然△PBC∽△PGE，∴

EG

3

=

3 2

9

，d=EG=

2

（3）解：由BC⊥AB，BC⊥PB，∴P-BC-D的平面角為∠PBA=45°，連接AE，E為PB中點.

PA=AB=AD PA⊥AD，PA⊥AB

⇒

AE⊥PB BC⊥面PAB

，則AE⊥面PBC．由（2）EG⊥PC于G，連接AG
由三垂線定理，∠EGA為二面角B-PC-A 的平面角．設PA=1，∴AE=

2

2

，由（2）的計算方法知：EG=

1

3

∴tan∠EGA=

AE

EG

=

6

2

二面角B-PC-A的大小為arctan

6

2

．

點評：本題主要考查空間角，距離的計算，線面平行、垂直，面面垂直的定義，性質、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．