Question

在直角坐標系XOY中，圓C1：x2+y2=16，圓C2：(x-4)2+y2=16，若以直角坐標系XOY的原點為極點，X軸正半軸為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系，分別求出圓C₁，圓C₂的極坐標方程，并求兩圓交點的極坐標．

Answer 1

分析：根據極坐標與直角坐標互化的公式，分別算出兩圓的極坐標方程；再根據兩圓的位置關系，可得它們的交點距離原點的距離和射線與x軸正半軸所成的角，即可得到兩圓交點的極坐標．

解答：解：圓C1：x2+y2=16，化成極坐標方程為ρ²=16，解之得ρ=4
∵圓C2：(x-4)2+y2=16，展開得x²+y²-8x=0，
∴⊙C₂化成極坐標方程為ρ²-8ρcosθ=0，化簡得8ρcosθ=0
又∵⊙C₁與⊙C₂在直角坐標下交于點A（2，2

3

），B（2，-2

3

）
∴點A的極徑ρ₁=

22+(2 3 )2

=4，極角θ₁=arctan

2 3

2

=arctan

3

=

π

3

，得A的極坐標為（4，

π

3

）
同理，點B的極徑ρ₂=

22+(-2 3 )2

=4，極角θ₂=arctan（-

3

）=-

π

3

，得A的極坐標為（4，-

π

3

）
綜上所述，⊙C₁極的坐標方程為ρ=4，⊙C₂的極的坐標方程為8ρcosθ=0
兩圓交點的極坐標分別為（4，

π

3

）和（4，-

π

3

）

點評：本題給出兩圓的直角坐標方程，求它們的極坐標方程與交點的極坐標．著重考查了極坐標與直角坐標互化的公式、直線與圓的位置關系等知識點，屬于基礎題．