Question

已知函數f（x）=asinx+cosx，a∈R；
（Ⅰ）若a=1，求過點(

π

2

，1)的切線方程；
（Ⅱ）若a=f′(

π

2

)，求f(

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a=1，知f（x）=sinx+cosx，故f′（x）=cosx-sinx，由此及彼能求出函數f（x）上過點(

π

2

，1)的切線方程．
（Ⅱ）由f（x）=asinx+cosx，知f′（x）=acosx-sinx，故f′(

π

2

)=acos

π

2

-sin

π

2

=-1，由a=f′(

π

2

)=-1，知f（x）=-sinx+cosx，由此能求出f(

π

4

)．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=sinx+cosx，
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴f′(x)|x=

π

2

=(cosx-sinx)|x=

π

2

=cos

π

2

-sin

π

2

=-1，
∴過點(

π

2

，1)的切線方程為y-1=-（x-

π

2

），
整理，得x+y-1-

π

2

=0．
（Ⅱ）∵f（x）=asinx+cosx，
∴f′（x）=acosx-sinx，
∴f′(

π

2

)=acos

π

2

-sin

π

2

=-1，
∵a=f′(

π

2

)=-1，
∴f（x）=-sinx+cosx，
∴f(

π

4

)=-sin

π

4

+cos

π

4

=-

2

2

+

2

2

=0．

點評：本題考查函數的切線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數知識的合理運用．