Question

如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線分別交BC、和△ABC的外接圓于點D和E，延長AC交過C，D，E三點的圓于點F．
（1）求證：EF²=ED•EA；
（2）若AE=6．EF=3，求AF•AC的值．

Answer 1

分析：（1）利用同弧或等弧所對的圓周角相等及三角形相似即可得出；
（2）由割線定理即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，連接DF、EC，
由同弧或等弧所對的圓周角相等可得：∠DFE=∠DCE，∠DCE=∠BAE=∠EAC，
∴∠DFE=∠EAF，又∠DEF公用，
∴△DEF∽△FEA，∴

EF

EA

=

ED

EF

，∴EF²=ED•EA．
（2）由（1）可知：ED=

EF2

EA

=

32

6

=

3

2

，
由割線定理得AD•AE=AC•AF，
∴AC•AF=（AE-DE）•AE=(6-

3

2

)×6=27．

點評：熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等、三角形相似的性質定理及割線定理是解題的關鍵．