Question

函數f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）
（1）若a=2，求y=f（x）的值域
（2）若y=f（x）在區間[-1，1]上有最大值14．求a的值；
（3）在（2）的前題下，若a＞1，作出f（x）=a^|x-1|的草圖，并通過圖象求出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

解：（1）當a=2時，f（x）=2^2x+2×2^x-1=（2^x+1）²-2
∵2^x＞0，設t=2^x，則y=（t+1）²-2在（0，+∞）上單調遞增
故y＞-1，∴y=f（x）的值域為（-1，+∞）…．
（2）y=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2…．
①當a＞1時，又-1≤x≤1，可知，設a^x=t，
則y=（t+1）²-2在[]上單調遞增
∴，解得a=3或a=-5，故a=3…
②當0＜a＜1時，又-1≤x≤1，可知，設a^x=t，
則y=（t+1）²-2在[]上單調遞增
∴，解得，故…
綜上可知a的值為3或…
（3）y=3^|x-1|的圖象，
…..
函數的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（-∞，1）…
分析：（1）當a=2時，f（x）=2^2x+2×2^x-1=（2^x+1）²-2，利用二次函數的性質即可求解
（2）y=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2對于底數a分類討論得到函數的最值和單調性．
（3）結合指數函數的圖象及函數的圖象的平移即可
點評：本題主要考查了指數函數的值域的求解，二次函數在閉區間上的最值的求解及函數的圖象的平移及對稱變換，體現了數形結合及分類討論思想的應用