Question

與函數f （x）有關的奇偶性，有下列三個命題：
①若f （x）為奇函數，則f （0）=0；
②若f （x）的定義域內含有非負實數，則f（|x|）必為偶函數；
③若f （-x）有意義，則f （x）必能寫成一個奇函數與一個偶函數之和．
其中，真命題為

 

（寫出你認為正確的所有命題的代號）

Answer 1

分析：根據函數奇偶性的定義分別進行判斷即可．

解答：解：①函數為奇函數，則定義域關于原點對稱，但不一定有f （0）=0，比如函數f（x）=

1

x

滿足是奇函數，但f（0）無意義，∴①錯誤．
②若函數為偶函數，則定義域關于原點對稱，若f （x）的定義域內含有非負實數，則定義域不一定關于原點對稱，∴②不一定正確．
③若f（x）可分解為一個奇函數與一個偶函數的和，不妨設f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為偶函數，h（x）為奇函數，
則f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），則聯立兩式得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，此種分解方法只有一種，∴③正確．
故正確的是③．
故答案為：③

點評：本題主要考查函數的奇偶性的定義和性質的應用，利用函數奇偶性的定義是解決本題的關鍵．