Question

如圖：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點M，N分別是A₁B和B₁D₁的中點．
（1）求證：MN⊥AB
（2）求異面直線A₁N與CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質證明．（2）利用異面直線所成角的定義或利用空間向量求夾角．

解答：解：（1）取A₁B₁的中點H，連結HN，MN，則HM∥BB₁，HN∥A₁D₁，
在正方體中，AB⊥BB₁，AB⊥A₁D₁，
所以AB⊥HM AB⊥HN，因為HM∩HN=H，
所以AB⊥面HNM，
因為MN?面HNM，
所以AB⊥MN，
即MN⊥AB．
（2）以D點為坐標原點，以DA，DC，DD₁，分別為x，y，z軸，建立空間坐標系，
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁ （0，0，1），B₁ （1，1，1）．
因為M，N分別是A₁B和B₁D₁的中點，
所以M（1，

1

2

，

1

2

），N（

1

2

，

1

2

，1）．
則

A1N

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

CM

=(1，-

1

2

，

1

2

)，
則

A1N

?

CM

=(-

1

2

，

1

2

，0)?(1，-

1

2

，

1

2

)=-

1

2

-

1

4

=-

3

4

，
即

A1N

?

MC

=

3

4

，
所以|

A1N

|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

2

2

，|

MC

|=

1+( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

6

2

，
所以cos＜

A1N

，

MC

＞=

3 4

2 2 × 6 2

=

3

2

．
即異面直線A₁N與CM所成角的余弦值為

3

2

．

點評：本題主要考查線面垂直的性質以及異面直線所成角的求法，要求熟練掌握．