Question

已知雙曲線的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一條漸近線方程y=

4

3

x，右焦點F（5，0），雙曲線的實軸為A₁A₂，P為雙曲線上一點（不同于A₁，A₂），直線A₁P、A₂P分別與直線l：x=

9

5

交于M、N兩點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）求證：

FM

•

FN

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，根據(jù)題意可得關(guān)于a、b的方程組，解可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，易得A₁、A₂、F的坐標，設(shè)P（x，y）、M（

9

5

，y0），易得向量

A1P

=(x+3，y)，

A1M

=(

24

5

，y0)，又由共線向量的坐標運算，可得M的坐標，進而可得N的坐標，
由此可得：

FM

與

FN

的坐標，即可得

FM

•

FN

=

256

25

-

144

25

•

y2

x2-9

；結(jié)合雙曲線的方程，代換可得證明．

解答：解：（Ⅰ）依題意可設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則

b a = 4 3 c=5 c2=a2+b2

?

a=3 b=4

∴所求雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=1

（Ⅱ）A₁（-3，0）、A₂（3，0）、F（5，0），設(shè)P（x，y），M（

9

5

，y0），

A1P

=(x+3，y)，

A1M

=(

24

5

，y0)，
∵A₁、P、M三點共線，
∴(x+3)y0-

24

5

y=0∴y0=

24y

5(x+3)

即M(

9

5

，

24y

5(x+3)

)，
同理得N(

9

5

，-

6y

5(x-3)

)，

FM

=(-

16

5

，

24y

5(x+3)

)，

FN

=(-

16

5

，-

6y

5(x-3)

)，
則

FM

•

FN

=

256

25

-

144

25

•

y2

x2-9

∵

x2

9

-

y2

16

=1，
∴

y2

x2-9

=

16

9

；
∴

FM

•

FN

=

256

25

-

144

25

•

16

9

=

256

25

-

256

25

=0，即

FM

•

FN

=0（定值）

點評：本題考查雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，（Ⅱ）的證明運用了坐標法，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，是典型的解析幾何方法，需要加強訓練．