Question

中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

的橢圓的短軸上兩端點分別為A、B．M是橢圓上異于A、B的一點，直線AM、BM與x軸分別相交于P、Q兩點，O是坐標原點，若

.

OP

•

.

OQ

=2，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：由已知條件，利用直線方程的截距式分別求出點P，Q的橫坐標的表達式，再利用

.

OP

•

.

OQ

=2和橢圓的方程求出橢圓的長軸，由此能求出橢圓方程．

解答：解：∵中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

，
∴設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
設M（x₀，y₀），P（p，0），Q（q，0）．
由直線方程的截距式及M，P，B三點共線，
得到

x0

q

+

y0

b

=1，
∴

bx0

b-y0

，
由直線方程的截距式及M，P，B三點共線，
得到

x0

p

-

y0

b

=1，
∴p=

bx0

b+y0

，
∵

.

OP

•

.

OQ

=2，
∴|pq|=

b2x02

b2-y02

=2，
由橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0得

b2x02

b2-y02

=a²，
∴a²=2，
又∵離心率e=

2

2

，
∴a=

2

，c=b=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．

點評：本題考查橢圓的應用，涉及到向量、直線的截距式方程、橢圓等知識點，綜合性強，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．