Question

（2006•靜安區二模）一個數表如圖所示：

對于任意的正整數n，表中第n+1行中的數均由第n行中的數按相同規律生成得到．設K_n表示位于第n行的數的個數，S_n表示第n行各數的和．
（1）試求K₆、S₆；
（2）求S_n；
（3）若a_ni表示數表中第n行第i個數，試用a_ni表示第n+1行中由a_ni所生成的數（寫出它們之間的關系式）．

Answer 1

分析：（1）{K_n}是一個以1首項，以2為公比的等比數列，當n≥2時，S_n=3×2^n-2，代入可得K₆、S₆；
（2）由（1）中結論，結合S₁=1，可得S_n；
（3）第n行第i個數，在第n+1行為第2i-1和2i個數，前面的數與原數互為相反數，后面的數比原數大3，進而可得關系式．

解答：解：（1）由已知易得{K_n}是一個以1首項，以2為公比的等比數列，
∴K_n=2^n-1
∴K₆=32，…（3分）
上一行的數a，到下一行后分解為：-a，a+3，這兩個數的和為3
當n≥2時，S_n=3×2^n-2
∴S₆=3×16=48…（6分）
（2）由（1）得S₁=1，
當n≥2時，S_n=3×2^n-2…（9分）
∵n=1時，3×2^n-2=

3

2

≠1
Sn=

1n=1 3×2n-2，n≥2，n∈N

即Sn=

1 n=1 3×2n-2n≥2，n∈N

…（10分）（注：僅有Sn=3×2n-2得2分）
（3）由已知中第n行第i個數，
在第n+1行為第2i-1和2i個數
前面的數與原數互為相反數，后面的數比原數大3
a_n+1，2i-1=-a_ni，…（13分）
a_n+1，2i=a_ni+3，i∈N…（16分）

點評：本題考查的知識點是歸納推理其中根據已知中的數表的前若干行，分析出數的變化規律及之間的關系是解答的關鍵．