Question

如圖，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，E、F分別是AB，PC的中點，∠PDA=45°．（1）求證：EF∥面PAD．
（2）求證：面PCE⊥面PCD．

Answer 1

（1）取PD中點為G，連FG、AG，∵F，G分別為中點，∴FG∥CD，且 FG=

1

2

CD．AE∥CD，且 AE=

1

2

CD，
即四邊形EFGA為平行四邊形，∴EF∥AG，又EF?面PAD，AG?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）PA⊥面ABCD∴PA⊥AD，PA⊥CD∴Rt△PAD中，∠PDA=45°∴PA=AD，AG⊥PD，又CD⊥AD，CD⊥PA，
且PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AG，又PD∩CD=D，∴AG⊥面PCD，
由（1）知EF∥AG∴EF⊥面PCD，又EF?面PCE，∴面PCE⊥面PCD．