Question

經市場調查，某商品在30天內，其銷售量（單位：件）和價格（單位：元）均為時間t（單位：天）的函數，且銷售量近似地滿足關系g（t）=-t+100（t∈N，0＜t≤30），在前15天里價格為f（t）=t+80（t∈N，0＜t≤15），在后15天里價格為f(t)=-

1

16

t+101(t∈N，16≤t≤30)．
（1）寫出該種商品的日銷售額S與時間t的函數關系；
（2）求這種商品的日銷售額的最大值．

Answer 1

分析：（1）日銷售額S=g（t）f（t），分0＜t≤15，16≤t≤30兩種情況分別表示出來，然后寫成分段函數即可；
（2）利用二次函數的性質分別求出S在（0，15]，[16，30]上的最大值，然后取其較大者即可；

解答：解：（1）當0＜t≤15時，S=g（t）f（t）=（-t+100）（t+80）；
當16≤t≤30時，S=g（t）f（t）=（-t+100）（-

1

16

t+101），
所以該種商品的日銷售額S與時間t的函數關系為：S=

(-t+100)(t+80)(t∈N，0＜t≤15) (-t+100)(- t 16 +101)(t∈N，16≤t≤30)

；
（2）當0＜t≤15時，S=（-t+100）（t+80）=-（t-10）²+8100．
當t=10時，S_max=8100．                        
當16≤t≤30時，S=(-t+100)(-

t

16

+101)=

1

16

t2-

429

4

t+10100，
易知此時S在[16，30]上遞減，所以當t=16時，S_max=8400．                    
日銷售額的最大值為8400元．
綜上可得，當t=16時，日銷售額的最大值為8400元．

點評：本題考查函數解析式的求法及二次函數在閉區間上的最值，考查學生在實際問題中的建模能力．