Question

已知拋物線y²=4x，點M（1，0）關于y軸的對稱點為N，直線l過點M交拋物線于A，B兩點．
（Ⅰ）證明：直線NA，NB的斜率互為相反數；
（Ⅱ）求△ANB面積的最小值；
（Ⅲ）當點M的坐標為（m，0）（m＞0，且m≠1）．根據（Ⅰ）（Ⅱ）推測并回答下列問題（不必說明理由）：
①直線NA，NB的斜率是否互為相反數？
②△ANB面積的最小值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）先設直線方程，然后與拋物線方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程，進而可得到兩根之和與兩根之積，即可表示出y₁y₂，然后表示出直線NA，NB的斜率再相加，整理可得k_NA+k_NB=0，得證．
（2）根據，再由（1）中的兩根之和與兩根之積的結果可求出S_△NAB=＞4，而當l垂直于x軸時，S_△NAB=4可得到△ANB面積的最小值為4．
（3）根據（1）（2）中的計算和結論可得到推論①k_NA=-k_NB；②△ANB面積的最小值為．
解答：解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．
∴y₁y₂=-4∵N（-1，0）
=．
又當l垂直于x軸時，點A，B關于x軸，顯然k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．
綜上，k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．
（Ⅱ）
=．
當l垂直于x軸時，S_△NAB=4．
∴△ANB面積的最小值等于4．
（Ⅲ）推測：①k_NA=-k_NB；
②△ANB面積的最小值為．
點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯立消去y得到關于x的一元二次方程，然后求出兩根之和與兩根之積，再結合題中所給條件進行解答是解答這種題型的一般思路．