Question

已知數列{a_n}滿足an=2an-1+2n-1(n≥2)，且a4=81．
（I）求數列的前三項a₁，a₂，a₃；
（II）求證：數列{

an-1

2n

}為等差數列；
（III）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用已知條件直接求出a₃，然后求出a₂，a₁ 的值．
（II）由 a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，可得

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=1，從而得出結論．
（III）利用（II）求出通項公式，然后通過錯位相減法求出數列{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：（I）由 a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N₊，且n≥2）得 a₄=2a₃+2⁴-1=81，得a₃=33，
同理，可得 a₂=13，a₁=5．
（II）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，
∴

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=

2an +2n+1-2

2n+1

-

2an-2

2n+1

=1，
故數列{

an-1

2n

}是以2為首項，以1為公差的等差數列．
（III）由（II）可得

an-1

2n

=2+（n-1）×1，
∴a_n=（n+1）2ⁿ+1．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ+n，
記T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，則有2T_n=2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ +（n+1）2ⁿ⁺¹．
兩式相減，可得-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）2ⁿ⁺¹=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
解得  T_n=n×2ⁿ⁺¹，
故 S_n=T_n+n=n×2ⁿ⁺¹+n=n•（2ⁿ⁺¹+1 ）．

點評：點評：本題考查數列的定義判斷等差數列的應用，數列求和的常用方法--錯位相減法，考查計算能力．