Question

動點P與點F(1，0)的距離和它到直線l：x＝－1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C₁．圓C₂的圓心T是曲線C₁上的點，圓C₂與y軸交于M，N兩點，且|MN|＝4．

(1)求曲線C₁的方程；

(2)設點A(a，0)(a＞2)，若點A到點T的最短距離為a－1，試判斷直線l與圓C₂的位置關系，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1：設動點P的坐標為(x，y)，依題意，得， 　　即　　2分 　　化簡得：y2＝4x， 　　∴曲線C1的方程為y2＝4x　　4分 　　解法2：由于動點P與點的距離和它到直線的距離相等， 　　根據拋物線的定義可知，動點P的軌跡是以點為焦點，直線l為準線的拋物線　　2分 　　∴曲線C1的方程為y2＝4x　　4分 　　(2)解：設點T的坐標為，圓C2的半徑為r， 　　∵點T是拋物線上的動點， 　　∴()． 　　∴　　6分 　　 　　． 　　∵，∴，則當時，取得最小值為　　8分 　　依題意得， 　　兩邊平方得， 　　解得或(不合題意，舍去)　　10分 　　∴，，即． 　　∴圓的圓心的坐標為． 　　∵圓與軸交于兩點，且， 　　∴． 　　∴　　12分 　　∵點到直線的距離， 　　∴直線與圓相離　　14分