Question

已知雙同線的兩個焦點為的曲線C上．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)記O為坐標原點，過點Q(0，2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法1：依題意，由a2＋b2＝4，得雙曲線方程為(0＜a2＜4)， 　　將點(3，)代入上式，得．解得a2＝18(舍去)或a2＝2， 　　故所求雙曲線方程為 　　解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c＝2． 　　2a＝|PF1|－|PF2|＝ 　　∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2． 　　∴雙曲線C的方程為 　　(Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線C的方程并整理， 　　得(1－k2)x2－4kx－6＝0． 　　∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， 　　∴ 　　∴k∈(－)∪(1，)． 　　設E(x1，y1)，F(x2，y2)，則由①式得x1＋x2＝于是 　　|EF|＝ 　　＝ 　　而原點O到直線l的距離d＝， 　　∴SΔOEF＝ 　　若SΔOEF＝，即解得k＝±， 　　滿足②．故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y＝和 　　解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx＋2，代入雙曲線C的方程并整理， 　　得(1－k2)x2－4kx－6＝0．　　① 　　∵直線l與比曲線C相交于不同的兩點E、F， 　　∴ 　　∴k∈(－)∪(1，)．　　② 　　設E(x1，y1)，F(x2，y2)，則由①式得 　　|x1－x2|＝．　　③ 　　當E、F在同一支上時(如圖1所示)， 　　SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|＝； 　　當E、F在不同支上時(如圖2所示)， 　　SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝ 　　綜上得SΔOEF＝，于是 　　由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝． 　　若SΔOEF＝2，即，解得k＝±，滿足②． 　　故滿足條件的直線l有兩條，基方程分別為y＝和y＝ 　　本小題主要考查雙曲線的定義、標準方程、直線和雙曲線位置關系等平面解析幾何的基礎知識，考查待寫系數法、不等式的解法以及綜合運用數學知識進行推理運算的能力．(滿分13分)