Question

如圖，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存一點P，使得DP與平面BCB₁與平面ACB₁都平行？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）為證AC⊥平面BB₁C₁C，須證AC垂直面內兩條相交直線：BB₁和BC即可．前者易證，后者利用計算方法證明即可．
（2）設P為A₁B₁的中點，證明DCB₁P為平行四邊形，即可證明存在點P，滿足題意．

解答：證明：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC．（2分）
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=

2

，∠CAB=45°，∴BC=

2

，∴BC⊥AC．（4分）
又BB₁∩BC=B，BB₁，BC?平面BB₁C₁C，∴AC⊥平面BB₁C₁C．（7分）

（2）存在點P，P為A₁B₁的中點．（8分）
證明：由P為A₁B₁的中點，有PB₁‖AB，且PB₁=

1

2

AB．（10分）
又∵DC‖AB，DC=

1

2

AB，∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，
∴DCB₁P為平行四邊形，從而CB₁∥DP．
又CB₁?面ACB₁，DP?面ACB₁，∴DP‖面ACB₁．（12分）
同理，DP‖面BCB₁．（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的性質，直線與平面垂直的性質，考查空間想象能力，邏輯思維能力．