Question

在數1和2之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記為A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求數列{A_n}的前n項和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．

Answer 1

分析：（1）設構成遞增的等比數列n+2個數分別為b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2．利用倒序相乘的方法，結合等比數列的性質算出An=2

n+2

2

，再由等比數列定義證出{A_n}是首項為A1=2

2

，公比為

2

的等比數列，由此不難算出數列{A_n}的前n項和S_n；
（2）由（1）的結論，算出an=

n+2

2

，從而得到tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2），根據兩角差的正切公式結合配角的方法，證出等式tan(n+1)tan(n+2)=

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1（n∈N^*），由此作為通項代入T_n的表達式，化簡合并后即可得到

T n= tan(n+2)-tan2 tan1 -n

（n∈N^*）．

解答：解：（1）根據題意，n+2個數構成遞增的等比數列，
設為b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2，
可得A_n=b₁•b₂•…•b_n+1•b_n+2，…①；A_n=b_n+2•b_n+1•…•b₂•b₁，…②
由等比數列的性質，得b₁•b_n+2=b₂•b_n+1=b₃•b_n=…=b_n+2•b₁=2，
∴①×②，得

A

2 n

=(b1bn+2)•(b2bn+1)•…•(bn+1b2)•(bn+2b1)=2ⁿ⁺²．
∵A_n＞0，∴An=2

n+2

2

．
因此，可得

An+1

An

=

2 n+3 2

2 n+2 2

=

2

（常數），
∴數列{A_n}是首項為A1=2

2

，公比為

2

的等比數列．
∴數列{A_n}的前n項和S_n=

2 2 [1-( 2 )n]

1- 2

=(4+2

2

)[(

2

)n-1]．
（2）由（1）得an=log2An=log22

n+2

2

=

n+2

2

，
∵tan1=tan[(n+1)-1]=

tan(n+1)-tann

1+tan(n+1)tann

，
∴tan(n+1)tann=

tan(n+1)-tann

tan1

-1，n∈N*．
從而tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1，n∈N*
∴

Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2

=tan2•tan3+tan3•tan4+…+tan(n+1)tan(n+2)

=( tan3-tan2 tan1 -1)+( tan4-tan3 tan1 -1)+…+( tan(n+2)-tan(n+1) tan1 -1)

= tan(n+2)-tan2 tan1 -n．

即T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2

= tan(n+2)-tan2 tan1 -n

．

點評：本小題主要考查等比數列的通項公式、數列的前n項和等基礎知識，考查合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題．