Question

（1）已知z為虛數(shù)，z+

9

z-2

為實(shí)數(shù)，若z-2為純虛數(shù)，求虛數(shù)z；
（2）已知w=z+i（z∈C），且

z-2

z+2

為純虛數(shù)，求M=|w+1|²+|w-1|²的最大值及M取最大值時(shí)w的值．

Answer 1

分析：（1）由已知，可設(shè)z=2+bi（b∈R，b≠0）．根據(jù)z+

9

z-2

為實(shí)數(shù)求出虛部為0，解出參數(shù)b，從而求出z
（2）設(shè)z=a+bi（a，b∈R，）根據(jù)

z-2

z+2

為純虛數(shù)，得出

(a2+b2-4) (a+2)2+b2  =0 4b (a+2)2+b2 ≠0

，即a²+b²=4，且b≠0．
M=|w+1|²+|w-1|²=2（a²+b²）+4b+4=12+4b，在上式條件下求出最值及w．

解答：解：（1）z為虛數(shù)且z-2為純虛數(shù)，可設(shè)z=2+bi（b∈R，b≠0）
又z+

9

z-2

=2+bi+

9

bi

=2+bi-

9

b

i=2+（b-

9

b

）i為實(shí)數(shù)，
所以b-

9

b

=0，b=±3
所以z=2±3i．
（2）設(shè)z=a+bi（a，b∈R，）
則

z-2

z+2

=

(a-2)+bi

(a+2)+bi

=

(a2+b2-4)+4bi

(a+2)2+b2

由于

z-2

z+2

為純虛數(shù)，所以

(a2+b2-4) (a+2)2+b2  =0 4b (a+2)2+b2 ≠0

即a²+b²=4，且b≠0．①
∴M=|w+1|²+|w-1|²=（a+1）²+（b+1）²+（a-1）²+（b+1）²
=2（a²+b²）+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2，2]且b≠0，所以b的最大值為2，從而M的最大值為20．
此時(shí)a=0，w=z+i=2i+i=3i．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的分類、模的計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．