Question

已知雙曲線C的中心在坐標原點O，對稱軸為坐標軸，點（-2，0）是它的一個焦點，并且離心率為．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點M（0，1），設P（x，y）是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設雙曲線方程為（a＞0，b＞0），依據題意，求出a、c、b的值，最后寫出雙曲線的標準方程和漸近線方程．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x，-y），根據向量的坐標運算寫出，從而=-x²-y²+1再結合雙曲線的范圍得出x²≥3，從而求得的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設雙曲線方程為（a＞0，b＞0），半焦距c，
依題意得 解得a=，b=1，
∴所求雙曲線C的方程為．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x，-y），∴，

∴=-x²-y²+1
，又，=，由可得，x²≥3，
=≤-2故的取值范圍x≤-2．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．解答的關鍵是對雙曲線標準方程的理解和向量運算的應用．