Question

已知函數f（x）=x²-2a（-1）^k lnx（k∈N^*，a∈R且a＞0），
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若k=2014時，關于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；
（3）當k=2013時，證明：對一切x＞0∈（0，+∞），都有f（x）-x²＞2a（

1

ex

-

2

ex

）成立．

Answer 1

分析：（1）對k分類討論，利用導數的正負，可得函數的單調性；
（2）構造g（x）=f（x）-2ax，方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，求導數，確定函數的單調性，即可求得結論；
（3）當k=2013時，問題等價于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，由導數可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，當且僅當x=

1

e

時取到，由此可得結論．

解答：（1）解：由已知得x＞0且f(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．
當k是奇數時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數；
當k是偶數時，則f′(x)=

2(x+ a )(x- a )

x

．
所以當x∈（0，

a

）時，f′（x）＜0，當x∈（

a

，+∞）時，f′（x）＞0．
故當k是偶數時，f （x）在（0，

a

）上是減函數，在（

a

，+∞）上是增函數．…（4分）
（2）解：若k=2014，則f（x）=x²-2alnx．
記g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，∴g′(x)=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；    
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0．
因為a＞0，x＞0，所以x1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），x2=

a+ a2+4a

2

．  
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調遞減函數；
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調遞增函數．
當x=x₂時，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．    
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax2-a=0

 
設函數h（x）=2lnx+x-1，
因為在x＞0時，h （x）是增函數，所以h （x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x ₂=1，從而解得a=

1

2

…（10分）
（3）證明：當k=2013時，問題等價于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))
由導數可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，當且僅當x=

1

e

時取到，
設m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，則m′(x)=

1-x

ex

，
∴m(x)max=m(1)=-

1

e

，當且僅當x=1時取到，
從而對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．故命題成立．…（16分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，難度大．